Intézmények:Debreceni Egyetem Egészségügyi Főiskolai Kar
Évfolyam: VI. évfolyam
Lapszám:2007. / 10
Hónap:december
Oldal:53-56
Terjedelem:4
Rovat:INFOKOMMUNIKÁCIÓ
Alrovat:ÚJDONSÁG
Absztrakt:
A testben az erek, az idegek hálózata, valamint a légutak fraktálként írhatók le. A fraktálstruktúra nagy előnye, hogy jelentősen megnöveli a felület/térfogat arányokat, elősegítve a különböző kémiai folyamatok végbemenetelét. Dolgozatom célja a vérerek szimmetrikus és aszimmetrikus elágazásának bemutatása, összehasonlítása, illusztrációja a paraméteres Lindenmayerrendszerek segítségével. Munkám nagyobb részben szakirodalmi feldolgozáson alapul, ugyanakkor a téma hazai feldolgozatlansága, illetve annak csak kis szeletére vonatkozó kutatások következtében lényegében idegen nyelvű (angol) források alapján történik. A L-system 4 programcsomag használatával olyan számítógépes környezet kialakítását végeztem el, amelynek a segítségével egyszerűsített modellt lehet vizsgálni.
Angol absztrakt:
Fractals are structures where the smaller parts are geometrically similar to the whole, self-similar and have an infinitely detailed structure. It is possible to find structures or processes that show fractal-like characteristics almost anywhere, in the human body the circulatory system, the network of neurons, as well as the alveoli structure in the lungs can be described by fractals. The reason for this is that this structure enhances the surface area of the tissue/organ therefore promoting different chemical reactions. The purpose of my research is to show the symmetrical and asymmetrical branching of the circulatory system with illustrations with the help of Lindenmayer-systems. I will use the L-system 4 program which can be downloaded from the Internet free to model the circulatory system with the emphasis on the branching of veins and arteries.
Intézmény: Debreceni Egyetem Egészségügyi Főiskolai Kar
[1] HERMANN P: Fraktális módszerek kifejlesztése és alkalmazása az agykérgi vérkeringési rendszer tér- és időbeli vizsgálatára. PhD Tézisek, Semmelweis Egyetem, Klinikai Kísérleti Kutató és Humán Élettani Intézet. Budapest, 2001. 2-5.
[2] ZBORAY G.: (szerk): Összehasonlító Anatómiai Praktikum II. rész. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996. 215-228.
[3] Folyadékok és gázok áramlása 2. http://biofiz.sote.hu/HUEDU/Fokea/aramlas2.pdf
[4] HORVÁTH G: Erek és érelágazások áramlási optimalizációja. Jegyzet a „Fizika biológusoknak” című előadáshoz. Budapest, 1999.
[5] ZAMIR, M.: Arterial Branching within the Confines of Fractal L-System Formalism. Journal of General Physiology, Volume 118. September 2001. 267-275.
[6] SHERMAN, T.: On Connecting Large Vessels to Small – The Meaning of Murray’s Law. Journal of General Phyisology, Volume 78. October 1981. 431-436.
[7] MURRAY, C.: The Physiological Principle of Minimum Work Applied to the Angle of Branching of Arteries. Journal of General Physiology. Volume 9, 835-841.
[8] ZAMIR, M.: Nonsymmetrical Bifurcations in Arterial Branching. Journal of General Physiology. Volume 72. 1978. 837-845.
[9] PERZ, Timothy C.: Welcome to L-systems 4. Utolsó frissítés: 2004. január 25. http://www.geocities.com/tperz/L4Home.htm
A cikket sikeresen a könyvepolcára helyeztük!
Tisztelt Felhasználónk!
A cikket a könyvespolcára helyeztük. A későbbiekben
bármikor elérheti a cikket a könyvespolcán található listáról.
A cikk megtekintéséhez onine regisztráció szükséges!
Tisztelt Látogató!
Az Ön által megtekinteni kívánt cikk az IMEONLINE cikkadatbázisához tartozik, melynek olvasása online regisztrációhoz kötött.
A regisztrálást követően fogja tudni megtekinteni a cikk tartalmát!
A megadott cikk nem elérhető!
Tisztelt Felhasználónk!
Az Ön által megtekinteni kívánt cikk nem elérhető a rendszerben!
A megadott cikk nem elérhető!
Tisztelt Felhasználónk!
Az Ön által megtekinteni kívánt cikk nem elérhető a rendszerben!
Sikeresen szavazott a cikkre!
Tisztelt Felhasználónk!
Köszönjük a szavazatát!
A szavazás nem sikerült!
Tisztelt Felhasználónk!
Ön már szavazott az adott cikkre!
Cikk megtekintése
Tisztelt Felhasználónk!
A cikk több nyelven is elérhető! Kérjük, adja meg, hogy melyik nyelven kívánja megtekinteni az adott cikket!
Cikk megtekintésének megerősítése!
Tisztelt Felhasználónk!
Az Ön által megtekintetni kívánt cikk tartalma fizetős szolgáltatás.
A megtekinteni kívánt cikket automatikusan hozzáadjuk a könyvespolcához!
A cikket bármikor elérheti a könyvespolcok menüpontról is!
INFOKOMMUNIKÁCIÓ ÚJDONSÁG A fraktálok és a biológia A vérkeringés bemutatása fraktál-modellekkel Dévényi Patricia, Debreceni Egyetem Egészségügyi Főiskolai Kara A testben az erek, az idegek hálózata, valamint a légutak fraktálként írhatók le. A fraktálstruktúra nagy előnye, hogy jelentősen megnöveli a felület/térfogat arányokat, elősegítve a különböző kémiai folyamatok végbemenetelét. Dolgozatom célja a vérerek szimmetrikus és aszimmetrikus elágazásának bemutatása, összehasonlítása, illusztrációja a paraméteres Lindenmayerrendszerek segítségével. Munkám nagyobb részben szakirodalmi feldolgozáson alapul, ugyanakkor a téma hazai feldolgozatlansága, illetve annak csak kis szeletére vonatkozó kutatások következtében lényegében idegen nyelvű (angol) források alapján történik. A L-system 4 programcsomag használatával olyan számítógépes környezet kialakítását végeztem el, amelynek a segítségével egyszerűsített modellt lehet vizsgálni. A keringési rendszer funkciója az oxigénnel és tápanyaggal dús vér eljuttatása a szervekhez, valamint a salakanyag és a szén-dioxid elszállítása a kiválasztószervekhez és a tüdőhöz. Ez egy önmagába visszatérő csőrendszer, amelyben kering a vér. A keringési rendszer részei a szív, az artériák (vagy verőerek) és a vénák (vagy vivőerek). A nagyobb artériák a szívtől távolodva elágaznak és egyre kisebb átmérőjű úgynevezett hajszálerekre bomlanak, majd a szív felé közeledve egyre vastagabbá váló vénákon keresztül a vér visszajut a szívbe. A keringésen belül megkülönböztetjük a kis- és a nagyvérkört [2]. A keringés artériás részében a nagy véráram-sűrűségű erek fraktálszerűen egyre vékonyabb, kis áramsűrűségű erekre bomlanak. Fractals are structures where the smaller parts are geometrically similar to the whole, self-similar and have an infinitely detailed structure. It is possible to find structures or processes that show fractal-like characteristics almost anywhere, in the human body the circulatory system, the network of neurons, as well as the alveoli structure in the lungs can be described by fractals. The reason for this is that this structure enhances the surface area of the tissue/organ therefore promoting different chemical reactions. The purpose of my research is to show the symmetrical and asymmetrical branching of the circulatory system with illustrations with the help of Lindenmayer-systems. I will use the L-system 4 program which can be downloaded from the Internet free to model the circulatory system with the emphasis on the branching of veins and arteries. Kettős elágazások A tömegmegmaradás törvénye kimondja, hogy zárt rendszer tömege állandó marad, függetlenül a rendszerben lejátszódó folyamatoktól. A vérkeringésre alkalmazva ezt a törvényt azt jelenti, hogy az áramlás sebessége a szülőérben (parent vessel) egyenlő a lányerekben (parent vessel) mért összes sebességgel. Képlettel szemléltetve: FRAKTÁLOK ÉS A VÉRKERINGÉS A fraktál kifejezés a latin fractus szóból ered, aminek jelentése törött, törés. Olyan alakzatra utal, ami nagyítás mellett is ugyanolyannak tűnik, mint az eredeti, és ezért végtelenül összetettnek minősül. Leírásukra a fraktál szót először Benoit Mandelbrot használta 1975-ben. A fraktálok tulajdonságai sokban eltérnek a hagyományos euklideszi geometriától: míg ott hagyományosan egyenleteket használnak, addig itt rekurzív, iteratív eljárásokat alkalmaznak több nagyságrendet átfogó skálán. Mandelbrot szerint a fraktálok olyan alakzatok, melyek dimenziója a topológiai és az euklideszi dimenzió közé esik, tehát mindig tört dimenzió [1]. A VÉRKERINGÉS MATEMATIKAI-FIZIKAI MODELLJE ahol Q0 a véráram sebessége a szülőérben, Q1 és Q2 pedig a véráram sebessége a lányerekben. Egy bifurkációs pontnál, azaz ott, ahol az elágazás megtörténik és létrejön a két leányág, a szülőérben mért áramlás egyenlő a lányerekben mért sebesség összegével [3]. Az elágazások szöge Az elágazódás azt jelenti, hogy a szülőér két lányérré válik szét, majd a lányér szintén két újabb érpárra bomlik és így tovább. Nagyon ritka, hogy másfajta, azaz több mint kétszeres elágazódás jöjjön létre. Ahogyan az erek vastagsága hatással van az áramerősségre és létezik optimális megoldás, úgy az elágazások szögére és az erek átmérőjére is igaz ez a feltételezés [4]. 1. ábra Az érelágazások illusztrációja [4] IME VI. ÉVFOLYAM 10. SZÁM 2007. DECEMBER 53 INFOKOMMUNIKÁCIÓ ÚJDONSÁG A fenti ábrán egy érelágazódás látható, ahol az A, B, C pontok között egy r0 sugarú, L0 hosszúságú, I0 áramsűrűségű főér egy-egy r1, r2 sugarú, L1, L2 áramsűrűségű mellékérre bomlik a D pontban, a főér hossztengelyétől mért α1, α2 elágazási szöggel [4]. Ezen elágazási szögek egyetlen paramétertől függnek, mégpedig attól, hogy az egyik mellékér hányszor vastagabb a másiknál. Ennek három speciális esete létezik: A) Ha a két mellékér egyforma átmérőjű, akkor az elágazási szög egyforma (2/A. ábra). B) Ha az egyik mellékér átmérője nagyobb, mint a másik, akkor a vastagabb ér optimális elágazási szöge kisebb, mint a vékonyabbé (2/B. ábra). C) Ha az egyik mellékér átmérője sokkal nagyobb, mint a másiké, akkor a vastag mellékér elágazási szöge nullához tart, míg a vékony mellékéré 90o-hoz (2/C. ábra). 2. ábra Az elágazások 3 speciális esete [4] Az erek átmérője Az ér r sugarának növekedésével egyre több anyagot kell felhasználni az erek felépítéséhez, viszont egyre kevesebb energia szükséges a súrlódás leküzdéséhez. Azaz, nagyobb erekben kevesebb energia kell az áramlás súrlódás ellenében történő fenntartásához, de nagyon nagy az anyagfelhasználás. Míg a vékonyabb erekben pont fordítva van: kevés nyersanyag szükséges a felépítéshez, de az áramlás fenntartása energiaigényes, mivel a súrlódás csökkenti az áramlást. Kell lennie olyan konfigurációnak, ahol az anyagfelhasználás és az áramlás fenntartásának energiaigénye egyidejűleg optimalizált. Az optimális paraméterekkel rendelkező ér anyagtakarékos, ugyanakkor az áramlás is a lehető legkevesebb energiafelhasználással biztosítható [5]. A lányerek optimális struktúrája átmérőjük segítségével vizsgálható. A bifurkációs index azt fejezi ki, hogy a két lányér átmérője (sugara), hogyan aránylik egymáshoz. ahol, d1 > d2 a lányerek átmérője. Az α az aszimmetria arányát mutatja. Ha α=1, akkor a két lányér átmérője egyenlő, ha α~0, akkor a két ér átmérője jelentősen eltér [5]. Murray törvénye is felhasználható az optimális érátmérők meghatározásához [6]. Ennek segítségével a tömegmegmaradás törvénye átalakítható úgy, hogy az a három ér átmérőjére vonatkozzon: 54 IME VI. ÉVFOLYAM 10. SZÁM 2007. DECEMBER ahol d0 a szülőér, d1 és d2 a lányerek átmérője. A bifurkációs index segítségével ez tovább alakítható, a lányerek és a szülőerek aránya α-val kifejezhető [5]: Szimmetrikus elágazások szerepe a „szállító” véredényekben Abban az esetben, ha α=1, akkor szimmetrikus bifurkációkról beszélünk, ahol az erek átmérője gyorsan csökken, ahogy az elágazások száma növekszik. Ilyen esetekben mindkét lányér átmérője egyenlő arányban csökken, elágazásonként kb. 20%-kal. Az ilyen típusú erek gyorsan érik el az adott szerveket, annak érdekében, hogy a szövetek minél előbb tápanyagokhoz és oxigénhez jussanak. Ezért szállítóereknek nevezzük őket. Például ilyen ér a koronáriák közül az, amelyik a myocardium legmélyére hatol, és az izomnál rengeteg hajszálérre bomlik [5]. Aszimmetrikus elágazások szerepe az „elosztó” véredényekben Abban az esetben viszont, ha α~0, akkor aszimmetrikus elágazásról beszélünk, és a főér átmérője minden bifurkációnál alig csökken. Ez akár 1% alatti csökkenés is lehet. Ilyen esetekben a főér megtartja a saját alakját és az éren belüli áramlás sem csökken jelentősen. Ezeket az ereket elosztó véredényeknek nevezik. A koronális keringésben erre példák a főerek, amik a szívet körülveszik és amiből a másodlagos erek elágaznak [5]. Bifurkációs index és a lányerek átmérői közötti összefüggés A bifurkációs index , ahol d1, d2 a lányerek átmérője, 0 ≤ α ≤ 1. Az (1) egyenletek segítségével meghatározható a különböző a értékekhez tartozó λ1 és λ2 értékek. A bifurkációs index a lányerek arányát, a λ1 és λ2 menynyiségek lányerek és a szülőerek arányát fejezik ki. A red1 = (1 – λ1) x 100 illetve red2 = (1 – λ2) x 100 képletek pedig arról adnak felvilágosítást, hogy a lányerek átmérője hány százalékkal kisebb a szülőér átmérőjénél. Az erek hossza és átmérője közötti összefüggés Nemcsak az erek átmérőjét kell azonban vizsgálni, hanem az elágazások hosszát is. A tapasztalati adatok azt mutatják, hogy az erek átmérője és hosszuk aránya függ egymástól, vastagabb érhez hosszabb ér tartozik. A pontos arány, a szoros összefüggés ugyanakkor nem adható meg a két adatra. Kísérleti adatok alapján a legjobb közelítés az, hogy az érhossz és átmérőjének aránya kb. 35, de az átlag 10 körül mozog [5]. INFOKOMMUNIKÁCIÓ ÚJDONSÁG Tegyük fel, hogy az erek hosszának és átmérőjének aránya 10, azaz γ-val jelölve a lány- és a szülőér hosszának arányát kapjuk, hogy: A MODELL MÛKÖDÉSE Az előbbiekben vázolt modellnek megfelelően végeztem számításaimat. A bifurkációs index adott értékeiből kiindulva, a modell képleteit alkalmazva sorra meghatároztam a megfelelő λ, red, cos θ, θ értékeket, valamint a arányokat. Az elágazások optimális szöge Az elágazások struktúrájának pontos definiálása érdekében szükséges a lányerek és a szülő erek szögének vizsgálata is. Jelölje θ1 és θ2 a lányerek és a szülő ér által bezárt szögeket. Murray [7] és Zamir [8] meghatározta ezek optimális értékét: 1. táblázat A λ, red, cos függvényében θ, θ mennyiségek értékei az lányerek elágazási szögeinek • • • ahol V – Formális szimbólumok véges halmaza, a rendszer ábécéje. A V abécé szimbólumaiból képzett sorozatok halmazát jelölje V*. A V* elemeit szavaknak nevezzük. S az állandók halmaza. ω V* – A rendszer kiinduló állapotát leíró szó. Szokásos elnevezése axióma vagy iniciátor. P – Egy V V* leképezés, azon szabályok halmaza, ami meghatározza, hogy egy szimbólumot hogyan lehet megváltoztatni az állandók és más szimbólumok kombinációjával. A P elemei a produkciós szabályok. Az L-system 4 szoftver Az L-system 4 nevű szoftver elérhető és ingyenesen letölthető az Internetről [9]. A program segítségével L-rendszerekkel lehet kísérletezni, és a szabályok módosításával különböző fraktálokat lehet rajzolni. A szabályok alapján a szoftver megrajzolja az alakzatokat adott számú generációra, elágazási szöggel és vonalvastagsággal. aránya képezi. A fraktálok generálásához az alábbi Lindenmayer-nyelvtant alkalmaztam mind az öt általam megvizsgált esetben: L-rendszerek Az L-rendszer rekurzív szabályai önhasonló, azaz fraktálszerű formák előállításához vezetnek. Növényi modelleket és természetesnek tűnő alakzatokat szintén könnyű leírni a segítségével. A rekurziók számának növelésével az alakzat nőni kezd, és egyre összetettebbé válik. Az L-rendszer definíciója: • bifurkációs index A fraktálok megrajzolásának alapját a λ1 értékek és A egyenletek alapján kiszámolható az elágazások szögeinek értéke az α bifurkációs index függvényében. PARAMÉTERES LINDENMAYER RENDSZEREK (L-RENDSZER) α Generációk száma: Lányerek elágazási szöge: Axióma: Szabály: X=!(λ1)Z[–;( 11 20o X )X][+X] ahol • X jelentése: a rajzoló kurzor kiindulási pozíciója; • !(λ1) jelentése: a lányér vastagsága = a szülőér vastagsága szorozva a zárójelben lévő értékkel; • Z jelentése: új vonal rajzolása előre úgy, hogy a vonal hossza fele az előző vonal hosszának; • [ jelentése: a rajzoló kurzor adott helyzetének elmentése; • – jelentése: jobbra fordulás; • ;( ) jelentése: a lányerek elágazási szöge szorozva • • • • • • -vel; X jelentése: visszatérés a kiindulási állapothoz; ] jelentése: a rajzoló kurzor áthelyezése az elmentett helyzetbe; [ jelentése: a rajzoló kurzor adott helyzetének elmentése; + jelentése: balra fordulás; X jelentése: visszatérés a kiindulási állapothoz; ] jelentése: a rajzoló kurzor áthelyezése az elmentett helyzetbe. IME VI. ÉVFOLYAM 10. SZÁM 2007. DECEMBER 55 INFOKOMMUNIKÁCIÓ ÚJDONSÁG Szemléltetésképpen tekintsük az α=1 és α=0,25 bifurkációs indexekhez tartozó fraktálokat. 3. táblázat Az α=0,25 bifurkációs indexhez tartozó számított adatok és aktualizált szabály 2. táblázat Az α=1 bifurkációs indexhez tartozó számított adatok és aktualizált szabály Az α=0,25 fraktál a 11. generáció után: Az α=1 fraktál a 11. generáció után: 4. ábra Az α=0,25 bifurkációs indexhez és az X=!(0,99)Z[–:(0,03)X][+X] szabályhoz tartozó fraktál grafikai képe a 11. generáció után 3. ábra Az α=1 bifurkációs indexhez és az X=!(0,8)Z[–;(1)X][+X] szabályhoz tartozó fraktál grafikai képe a 11. generáció után A modell adott feltételei mellett az 1. táblázat számított értékei bizonyítják, az L-system 4 program által generált ábrák pedig szemléletesen mutatják, hogy az α értéke meghatározó az érelágazások geometriája szempontjából. A 3. ábrán az α értéke 1, azaz a lányerek átmérője egyenlő. Ekkor az elágazások tengelyesen szimmetrikusak; a két ér elágazási szöge egyaránt 37o. Az α=0,25 esetben látványos a kép aszimmetriája (4. ábra). Az érátmérők redukciója 0,515%, a szögek aránya 0,038, a szögek nagysága 3o és 79o. Tehát az elágazásból kilépő egyik lányér nagyon vékony, vastagsága szinte elhanyagolható, míg a másik lányér vastagsága alig változik a szülőérhez képest. Ez meggyőzően támasztja alá „Az elágazások szöge” fejezetben leírtakat. Ha ugyanis a két lányér átmérője megegyezik, akkor az elágazási szögük is megegyező (2/A ábra), ha viszont jelentős különbség van a két átmérő között, akkor a vastag ér elágazási szöge tart nullához, míg a vékony éré a derékszöghöz közelít (2/C ábra). IRODALOMJEGYZÉK [1] HERMANN P: Fraktális módszerek kifejlesztése és alkalmazása az agykérgi vérkeringési rendszer tér- és időbeli vizsgálatára. PhD Tézisek, Semmelweis Egyetem, Klinikai Kísérleti Kutató és Humán Élettani Intézet. Budapest, 2001. 2-5. [2] ZBORAY G.: (szerk): Összehasonlító Anatómiai Praktikum II. rész. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996. 215-228. [3] Folyadékok és gázok áramlása 2. http://biofiz.sote.hu/HUEDU/Fokea/aramlas2.pdf [4] HORVÁTH G: Erek és érelágazások áramlási optimalizációja. Jegyzet a „Fizika biológusoknak” című előadáshoz. Budapest, 1999. [5] ZAMIR, M.: Arterial Branching within the Confines of [6] [7] [8] [9] Fractal L-System Formalism. Journal of General Physiology, Volume 118. September 2001. 267-275. SHERMAN, T.: On Connecting Large Vessels to Small – The Meaning of Murray’s Law. Journal of General Phyisology, Volume 78. October 1981. 431-436. MURRAY, C.: The Physiological Principle of Minimum Work Applied to the Angle of Branching of Arteries. Journal of General Physiology. Volume 9, 835-841. ZAMIR, M.: Nonsymmetrical Bifurcations in Arterial Branching. Journal of General Physiology. Volume 72. 1978. 837-845. PERZ, Timothy C.: Welcome to L-systems 4. Utolsó frissítés: 2004. január 25. http://www.geocities.com/tperz/L4Home.htm A SZERZÔ BEMUTATÁSA Dévényi Patricia a Debreceni Egyetem Egészségügyi Főiskolai Karának egészségügyi ügyvitelszervező szakos végzős hallgatója. 56 IME VI. ÉVFOLYAM 10. SZÁM 2007. DECEMBER A diplomamunka készítésében Csajbók Zoltán docens volt a tanszéki konzulense.
